TENSOR DE GRACELI PARA VIBRAÇÕES E INTERAÇÕES DE CAMPOS.

TENSOR DE GRACELI DE PARA VIBRAÇÕES E INTERAÇÕES DE CAMPOS..

$g_{\mu \nu }\!$ É O

TENSOR DE GRACELI DE PARA VIBRAÇÕES E INTERAÇÕES DE CAMPOS..

$g_{\mu \nu }\!$ / [ $\psi ^{*}$ $\psi$ $] =$

$g_{\mu \nu }\!$

$g_{\mu \nu }\!$ / [ $\psi ^{*}$ $\psi$ $c ] =$

$g_{\mu \nu }\!$ / [ $\psi ^{*}$ $\psi$ ω $] =$

$g_{\mu \nu }\!$ $\lambda$ $] =$

$g_{\mu \nu }\!$ ${\mathcal {T}}$ $] =$

A eletrodinâmica quântica é uma teoria abeliana de calibre, dotada de um grupo de calibre U(1).

O campo de calibre que media a interação entre campos de spin 1/2, é o campo eletromagnético, que se apresenta sob a forma de fótons.

A descrição da interação se dá através da lagrangiana para a interação entre elétrons e pósitrons, que é dada por:

{\mathcal {L}}=\psi ^{*}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }

onde $\ \psi$ e sua adjunta de Dirac $\psi ^{*}$ são os campos representando partículas eletricamente carregadas, especificamente, os campos do elétron e pósitron representados como espinores de Dirac.

No contexto da física teórica de partículas, o tensor de força do campo de glúons é um campo tensorial de segunda ordem que caracteriza a interação entre os glúons e os quarks.

A interação forte é uma das interações fundamentais da natureza e a teoria quântica de campos (TQC) que a descreve é denominada cromodinâmica quântica. Quarks interagem uns com os outros por meio da força forte devido a sua carga de cor, força essa mediada por glúons. Os próprios glúons possuem carga de cor e por conta disso podem também interagir mutualmente.

O tensor de força do campo de glúons é um tensor de rank 2 no espaço-tempo com valores no fibrado adjunto do grupo de gauge cromodinâmico SU(3). Nesse artigo, índices com letras latinas (tipicamente $a, b, c, n$ ) tomam os valores 1, 2, ..., 8 para as oito cargas de cor dos glúons, enquanto índices de letras gregas while (tipicamente $α, β, μ, ν$ ) tomam valores 0 para componentes tipo tempo e 1, 2, 3 para componentes tipo espaço de quadrivetores e tensores quadridimensionais no espaço tempo. Em todas as equações, a convenção estabelecida pela notação de Einstein é usada em todos os índices de cor e tensoriais, a menos que esteja explicitamente dito que a soma não deve ser efetuada.

Definição

Abaixo estão as definiçoes (e a maior parte da notação) seguidos por K. Yagi, T. Hatsuda, Y. Miake^[1] and Greiner, Schäfer.^[2]

Componentes tensoriais

O tensor é denotado por $G$ , (ou $F$ , $F$ , ou outras variantes), e tem componentes definidas como proporcionais ao comutador da derivada covariante $D μ$ quarkônica :^[2]^[3]

g_{\mu \nu }\!

/ [ $\psi ^{*}$

\psi

$] /$

G_{\alpha \beta }=\pm {\frac {1}{g_{s}}}[D_{\alpha },D_{\beta }]\,,

no qual:

g_{\mu \nu }\!

/ [ $\psi ^{*}$

\psi

$] /$

D_{\mu }=\partial _{\mu }\pm ig_{s}t_{a}{\mathcal {A}}_{\mu }^{a}\,,

onde

$i$ é a unidade imaginária;
$g s$ é a constante de acoplamento da força forte;
$t a = λ a /2$ são as matrizes de Gell-Mann $λ a$ divididas por 2;
$a$ é o índice de cor na representação adjunta de SU(3) que toma os valores1, 2, ..., 8 para os oito geradores do grupo, a saber as matrizes de Gell-Mann.
$μ$ é um índice do espaço-tempo, 0 para componentes do tipo tempo e 1,2, 3 para componentes tipo espaço;
${\mathcal {A}}_{\mu }=t_{a}{\mathcal {A}}_{\mu }^{a}$ expressa o campo gluônico, um campo de gauge de spin 1, ou no jargão da geometria diferencial, uma conexão no fibrado principal de SU(3);
${\mathcal {A}}_{\mu }$ são os quatro componentes (dependentes do sistema de coordenadas), que em determinado gauge fixo são funções cujos valores são matrizes hermitianas 3 × 3 de traço nulo, ao passo que ${\mathcal {A}}_{\mu }^{a}$ são as 32 funções reais, as quatro componentes para cada um dos oito campos vetoriais.

Autores diferentes escolhem sinais diferentes.

Expandindo o comutador, tem-se;

g_{\mu \nu }\!

/ [ $\psi ^{*}$

\psi

$] /$

G_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }{\mathcal {A}}_{\beta }-\partial _{\beta }{\mathcal {A}}_{\alpha }\pm ig_{s}[{\mathcal {A}}_{\alpha },{\mathcal {A}}_{\beta }]

Substituindo $t_{a}{\mathcal {A}}_{\alpha }^{a}={\mathcal {A}}_{\alpha }$ e o usando as relações de comutação $[t_{a},t_{b}]=if^{abc}t_{c}$ para as matrizes de Gell-Mann (com uma reindexação dos índices), onde $f abc$ são as constantes de estrutura de SU(3), cada uma das componentes da força do campo de glúons pode ser expressa como uma combinação linear das matrizes de Gell-Mann como segue:

g_{\mu \nu }\!

/ [ $\psi ^{*}$

\psi

$] /$

{\begin{aligned}G_{\alpha \beta }&=\partial _{\alpha }t_{a}{\mathcal {A}}_{\beta }^{a}-\partial _{\beta }t_{a}{\mathcal {A}}_{\alpha }^{a}\pm ig_{s}\left[t_{b},t_{c}\right]{\mathcal {A}}_{\alpha }^{b}{\mathcal {A}}_{\beta }^{c}\\&=t_{a}\left(\partial _{\alpha }{\mathcal {A}}_{\beta }^{a}-\partial _{\beta }{\mathcal {A}}_{\alpha }^{a}\pm i^{2}g_{s}{\mathcal {A}}_{\alpha }^{b}{\mathcal {A}}_{\beta }^{c}\right)\\&=t_{a}G_{\alpha \beta }^{a}\\\end{aligned}}\,,

de forma que:^[4]^[5]

g_{\mu \nu }\!

/ [ $\psi ^{*}$

\psi

$] /$

G_{\alpha \beta }^{a}=\partial _{\alpha }{\mathcal {A}}_{\beta }^{a}-\partial _{\beta }{\mathcal {A}}_{\alpha }^{a}\mp g_{s}f^{abc}{\mathcal {A}}_{\alpha }^{b}{\mathcal {A}}_{\beta }^{c}\,,

onde novamente $a, b, c = 1, 2, ..., 8$ são índices de cor. Como no caso do campo de glúons, em um sistema de coordenadas específico e com um gauge fixo, os $G αβ$ são funções que tem como valor matrizes hermitianas 3×3, enquanto $G a αβ$ são funções reais, que vem a ser as componentes de oito campos tensoriais quadridimensionais de segunda ordem.

Comparação com o tensor eletromagnético

Há um paralelo quase perfeito entre o tensor de força dos glúons e o tensor de campo eletromagnético (geralmente denotado por $F$ ) na eletrodinâmica quântica, dado pelo quadripotencial eletromagnético $A$ descrevendo um fóton de spin 1;

g_{\mu \nu }\!

/ [ $\psi ^{*}$

\psi

$] / /$

F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }\,,

ou na linguagem das formas diferenciais:

g_{\mu \nu }\!

/ [ $\psi ^{*}$

\psi

$] /$

\mathbf {F} =\mathrm {d} \mathbf {A} \,.

A principal diferença entre eletrodinâmica quântica e cromodinâmica quântica é que o tensor de força do campo do glúon tem termos extras que conduzem a auto-interações entre glúons. Isso causa uma complicação na teoria da força forte, fazendo com que ela seja inerentemente não-linear, ao contrário da força eletromagnética. QCD é uma teoria não-abeliana de gauge. A palavra não-abeliana em linguage de teoria de grupos significa que uma operação no grupo não é comutativa, o que faz com a álgebra de Lie correspondente seja não-trivial.

Densidade lagrangeana da QCD

Características de todas as teorias de campo, a dinâmica dos campos de força estão resumidas por uma densidade lagrangeana apropriada e da substituição dessa nas equações de Euler–Lagrange (para campos) obtêm-se as equações de movimento para o campo. A densidade lagrangeana para quarks sem massa, ligados por glúons é: ^[2]

g_{\mu \nu }\!

/ [ $\psi ^{*}$

\psi

$] /$

{\mathcal {L}}=-{\frac {1}{2}}\mathrm {tr} \left(G_{\alpha \beta }G^{\alpha \beta }\right)+{\bar {\psi }}\left(iD_{\mu }\right)\gamma ^{\mu }\psi

onde "tr" denota traço das matrizes 3×3 $G αβ G αβ$ , e $γ μ$ são matrizes gama 4×4.

Transformações de gauge

Em contraste com a QED, o tensor de força do campo do glúon não é invariante de gauge por si. Apenas o produto de dois tensores contraídos sobre todos os índices é invariante.

Equaçõeas de movimento

As equações^[1] governando a evolução dos campos de quark são:

g_{\mu \nu }\!

/ [ $\psi ^{*}$

\psi

$] /$

(i\hbar \gamma ^{\mu }D_{\mu }-mc)\psi =0

que é como a equação de Dirac, e a equação para o tensor de força do campo do glúon é:

g_{\mu \nu }\!

/ [ $\psi ^{*}$

\psi

$] /$

\left[D_{\mu },G^{\mu \nu }\right]=g_{s}j^{\nu }

que são similares as equações de Maxwell (quando escritar em notação tensorial), mais especificamente as equações de Yang–Mills para glúons. A quadricorrente de carga de cor é a fonte do tensor de força do campo de glúon, análogo a quadricorrente como fonte do tensor eletromagnético, dada por

g_{\mu \nu }\!

/ [ $\psi ^{*}$

\psi

$] /$

j^{\nu }=t^{b}j_{b}^{\nu }\,,\quad j_{b}^{\nu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\nu }t^{b}\psi \,,

que é uma corrente conservada, uma vez que a carga de cor é conservada, em outras palavras a quadricorrente de cor deve satisfazer a seguinte equação da continuidade: